Теоретически что должно сломаться, чтобы коробка "видела передачу" при включенном паркинге и не давала завестись?
Там (где на круглых незнаю, а на квадрате спереди моторного щита на рулевой колонке) на переключателе передач стоит блокиратор стартера и включения фонаря заднего хода (чтобы стартер включался в "N" или "P" и задний фонарь в "R"), при ремонте могли его отвинтить, а привинтив обратно не откалибровать.
Могли отсоединить разъем, массу с этого выключателя, потом забыли подключить.
Из симптомов один тихий щелчок. Но так и релюха у меня на старом каком-то агрегате щелкала.
Это может быть сигнализация, а именно ее цепь блокировки стартера (т.е. сигналка может считать, что машину угоняют и блокирует включение стартера).
P.S. Более знающие и опытные меня поправят.